Las matemáticas de la belleza.

Todos compartimos un gusto un tanto similar al tratar con la estética y la proporción, y tendemos a asociar estos atributos a la belleza. Hay una proporción matemática que aparece a menudo cuando medimos lo que consideramos bello.

Esta proporción ha sido estudiada desde la antigüedad, desde los griegos Phidias y Platón, hasta algunas figuras destacadas de la ciencia como Da Vinci y Johannes Kepler y últimamente por el físico de Oxford, Roger Penrose; tal es la fascinación provocada por la llamada “proporción áurea”.

Proporción áurea

Pero, ¿qué es la proporción áurea y por qué es tan interesante? bueno para comenzar, esta aparece repetidamente en la naturaleza, y también se encuentra en diferentes formas geométricas. Su valor se deriva de una simple proporción matemática; considerando la relación entre dos segmentos, donde la longitud del segmento completo (“a + b”), dividido por la sección mas larga (“a”), es la misma que la división entre la sección mayor (“a”) por la sección menor (“b”); esto resulta en un valor aproximado de 1.6180339887498.

GoldenRatio (gofiguremath.org)

A tal proporción se llama “la proporción dorada” o “proporción áurea”, y se puede expresar con la fórmula (1 + √5) / 2, y se identifica con la letra griega φ (Phi).
El valor φ, tiene propiedades muy interesantes; para empezar, es un número irracional; y por ello, similar al valor de Pi (П), no tiene un patrón predeterminado o repetido en sus valores decimales, y no puede expresarse como una fracción simple. Un ejemplo donde esta relación aparece es en el caso del pentágono; Si trazas líneas entre todos los vértices de un pentágono, los segmentos resultantes se cortan unos a otros en una posición que los divide precisamente en una proporción igual a la proporción áurea.

Pentágono and Phi (matematicasvisuales.com)

Fibonacci

Leonardo Bonacci, mejor conocido en la comunidad matemática como Fibonacci (diminutivo de “filius” o “Hijo” de Bonacci), fue uno de los matemáticos más grandes de la Edad Media, y fue quien introdujo los números arábigos en la Europa del siglo XIII. La mayoría de su conocido trabajo en matemáticas provienen de su libro “Liber Abaci” o “libro de cálculos” utilizado para cálculos definancieros de comerciantes, más la sección más famosa se basa en con cómo las matemáticas pueden usarse para expresar la proporción en que se reproducen los conejos, y este resultado se conoce como la secuencia de Fibonacci, que se expresa en la fórmula Fn = Fn-1 + Fn-2. Esto significa que cada número en la secuencia es el resultado de la suma de los dos números anteriores de la misma. Teniendo como resultado la siguiente secuencia:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

De la serie puedes deducir que:
1+1 = 2
1+2 = 3
2+3 = 5
3+5 = 8 … Y así sucesivamente. El valor uno se repite al inicio ya que el primer valor no tiene con que sumarse (o se suma con cero).
Pero una relación mucho más interesante surge de la serie de Fibonacci. Si divides los valores de los números de Fibonacci contiguos, los valores resultantes comenzarán a acercarse sucesivamente al valor de la relación áurea:

Es notorio que la proporción áurea y los números de Fibonacci están estrechamente relacionados, y esta relación se vuelve cada vez más interesante.
Si tomas un “rectángulo dorado” con el lado mas largo siendo 1+ φ (1,618), veces más largo que el lado corto, y trazas un cuadrado con dimensiones iguales al lado más corto, la sección remanente es en sí otro rectángulo dorado; esto se puede repetir este proceso una y otra vez en una escala cada vez más pequeña.

Espiral dorada (wikipedia.com)

Otra curiosidad es que trazando un rectángulo con longitudes que coincidan con los números de Fibonacci (34 x 21 en la imagen de arriba), los cada vez más pequeños rectángulos dorados resultantes también siguen la secuencia de Fibonacci, en este ejemplo, 1,1,2,3,5,8,13 y 21. Y si trazas una curva a través de los cuadrados resultantes, se forma lo que se se conoce como una “espiral dorada”.

La proporción áurea y los números de Fibonacci en la naturaleza

La espiral dorada aparece con frecuencia en la naturaleza; uno de los ejemplos más reconocidos es la forma de la concha o caparazón del Nautilus, pero también aparece en la forma de diferentes plantas, de las galaxias espirales y en la forma de los huracanes, e incluso se puede distinguir en las proporciones del rostro humano.

Caparazón de Nautilus (p-mtimes.blogspot.com)

Galaxia – Espiral dorada (io9.gizmodo.com)

Casos como los conos de los pinos, las hojas en algunas plantas, y pétalos de flores también muestran una distribución en espiral que a menudo coincide con los números de Fibonacci; las semillas de los girasoles también tienen un patrón en espiral que si se cuentan tanto en sentido de las manecillas de reloj, así como en contra de las manecillas del reloj, el numero de lineas en cada dirección son números Fibonacci contiguos, como 13 y 21 en la imagen de abajo. Tales ejemplos de las ocurrencias de la relación áurea, la espiral dorada y los números de Fibonacci son frecuentes en la naturaleza.

Spiral Seeds (mathematica.stackexchange.com)

Proporción áurea en todas partes

Por supuesto, esta proporción, tan frecuente en la naturaleza, es usada en las artes, arquitectura e ingeniería, con varios ejemplos que van desde las antiguas pirámides de Egipto y el Partenón en Grecia, donde la proporción phi (φ), aparece repetidamente; esta aparece también en la Catedral de Notre Dame en París, el Taj Mahal en la India y también en edificios modernos, como el edificio de la Secretaría de las Naciones unidas en Nueva York, EE. UU; que esta construido como un rectángulo que sigue la dimensiones de la proporción áurea, o la torre CN de Toronto Canadá, la estructura vertical más alta del mundo, que tiene una altura entre su base y el observatorio de 342 metros, y una altura total de 533 metros, dando una proporción muy cercana a 1.618, o el valor de phi (φ).

Hay variados y muy interesantes números en matemáticas, pero phi (φ) y la secuencia de Fibonacci son casos en los cuales sus propiedades son simplemente hermosas, y podemos presenciarlo no solo en formulaciones matemáticas, sino también en múltiples ejemplos en la naturaleza, este es un gran ejemplo de como las simetrías y proporciones matemáticas pueden ser también cautivadoras y apasionantes.

Saludos, Alex – ScienceKindle.