La secuencia de Recamán

Las matemáticas tienen diferentes áreas, una de ellas es la teoría numérica, la cual incluye las secuencias matemáticas y series, que tienen características peculiares y una estética única. Un caso especialmente interesante es la secuencia de Recamán.

Las secuencias matemáticas son series numéricas que siguen un particular arreglo de reglas, muchas de estas secuencias son solo ejercicios matemáticos, más hay algunas que son recurrentes en aspectos de la naturaleza, tal como el caso de la secuencia de Fibonacci, la cual es común encontrarla en ciertos patrones en flores, la distribución de las ramas de árboles o los arreglos de hojas en ciertas plantas e incluso en la proporción de la longitud de las falanges de nuestras manos. En todos estos casos la relación con la secuencia de Fibonacci es evidente.

Mas hay otras secuencias que son consideradas solamente curiosidades o ejercicios matemáticos, tales como las series figurativas; un ejemplo son los números cuadráticos que es la secuencia de números que forman matrices cuadradas: 1,4, 9, 16, 25, 36, … etc. Como estas, se pueden formar series triangulares, pentagonales y hexagonales.

Números poligonales

Números poligonales (drchristiansalas.com)

Estas series pueden parecer solamente simples ejercicios matemáticos, más en realidad hay series matemáticas que son de gran importancia y de uso cotidiano en áreas de la física e ingeniería. Pero ciertamente es innegable que muchas de ellas son solamente creadas por el deleite de experimentar con estos interesantes ejercicios matemáticos.

Uno de estos ejemplos es el de los números poligonales centrales; problema que tiene como regla determinar el máximo número de piezas resultante de aplicar cortes lineales a un círculo; en este caso si iniciamos desde cero, el numero máximo de piezas es 1, 2, 4, 7, 16,…; lo que como fórmula puede ser expresado como:

P= (n^2 +n +2)/2

NPC

NPC (edublognss.wordpress.com)

Recamán

La secuencia de Recamán es otra serie que se derivan de un ejercicio matemático, pero es innegable que su resultado es sumamente interesante.

Esta secuencia fue creada por Bernardo Recamán Santos, matemático de origen Colombiano; aunque no fue él quien la nombró como tal; este nombre se lo dio Neil James Alexander Sloane, profesor de la Universidad de Cornell, quien atinadamente la nombró así en su “Enciclopedia de las secuencias de enteros”, haciendo referencia a su autor.

La serie de Recamán, igual que otras series, sigue reglas específicas para ser generada, que se podrían definir en una sentencia como la regla de “substraer si se puede, y si no añadir”. Para explicar esto, la definición formal es como sigue:

– Inicia con una lista de números con el valor cero como origen.
– Se hacen saltos en la secuencia del tamaño de la suma de los números naturales, 1, 2, 3, etc.
– Primero, se intenta mover la secuencia hacia atrás en dirección de los números menores).
– Solamente si el número es mayor a cero y no ha sido previamente seleccionado, se puede ir hacia atrás, de no ser así la secuencia se mueve hacia adelante.

Su fórmula es:
– a0 = 0
– an = an-1 – n   si es positivo & no está en la lista.
– an = an-1 + n  en cualquier otro caso.

Para ver gráficamente este ejercicio, podemos revisar como se genera la secuencia de Recamán para los primeros 7 números naturales.

Recaman

Recaman (oeis.org)

1: No se puede ir hacia atrás (estamos en el origen), entonces, se mueve la secuencia una posición hacia adelante. (posición: 1)
2: No se puede ir hacia atrás (No se puede retroceder dos), entonces, se mueve la secuencia dos posiciones hacia adelante. (posición: 3)
3: No se puede ir hacia atrás (el origen ya esta “ocupado”), entonces, se mueve la secuencia tres posiciones hacia adelante. (posición: 6)
4: La secuencia se mueve cuatro posiciones hacia atrás (la posición dos no ha sido usada), (posición: 2)
5: No se puede ir hacia atrás (no se puede retroceder cinco posiciones), entonces, se mueve la secuencia cinco posiciones hacia adelante. (posición: 7)
6: No se puede ir hacia atrás (no se pueden retroceder seis posiciones pues la posición uno ya ha sido usada), entonces, se mueve la secuencia seis posiciones hacia adelante. (posición: 13).
7: No se puede ir hacia atrás (no se pueden retroceder siete posiciones pues la posición uno ya ha sido usada), entonces, se mueve la secuencia siete posiciones hacia adelante. (posición: 20).

Siguiendo esta serie de reglas, la secuencia que se obtiene es la siguiente:

– 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, …

La secuencia numérica por si sola no resulta del todo interesante, pero si estos valores se representan gráficamente, se puede notar un patrón harmonioso y estético. Al usar una repetición de semicírculos se puede notar que estos parecen ser concéntricos, más en realidad son una sola trayectoria continua.

Graphical Recaman series

Graphical Recaman series (instanonymous.com)

Esta y muchas otras secuencias numéricas (como la de Fibonacci), pueden ser revisadas en el sitio https://oeis.org, la enciclopedia on-line de secuencias numéricas (por sus siglas en inglés). En este sitio, puedes encontrar para cada secuencia, la definición de sus reglas y métodos para poder calcularlas, representarlas gráficamente e incluso emular musicalmente estas secuencias. Como ejemplo la secuencia de Recamán puede obtenerse en este enlace. Y tal como su representación gráfica, y con ciertos ajustes musicales para adaptar la escala; su representación musical es igualmente interesante, dada su modulación orgánica.

Espero que disfrutes como yo de estas representaciones de la secuencia de Recamán.

Saludos, Alex – ScienceKindle!

 

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